Geometri Insiden

GEOMETRI  INSIDENSI

       Geometri insidensi berisi pembentukan sistem aksioma dan sifat-sifat yang mendasari geometri tersebut. Setiap geometri mengandung:

1. Unsur-unsur tak terdifinisi
2. Sistim aksioma yang mengkaitkan unsur-unsur tak terdifinisi itu.
3. Difinisi-difinisi.
4. Teorema –teorema yang dapat dijabarkan dari butir-butir (1), (2), dan (3) diatas

       Geometri Insidensi ini dapat dikatakan mendasari geometri Euclides yang kita kenal semua. Menurut David Nilbert, Geometri Euclides didasarkan pada 5 kelompok aksioma yaitu:

I.                   Kelompok aksioma insidensi

II.                Kelompok aksioma urutan

III.             Kelompok aksioma kongruensi

IV.             Aksioma kekontinuan

V.                Aksioma kesejajaran Euclides

PEMBENTUKAN GEOMETRI INSIDENSI

       Untuk membangun sebuah geometri diperlukan unsur-unsur tak terdifinisi. Unsur-unsur tak terdifinisi ini kita sebut:

a.        Titik

b.        Himpunan titik-titik yang kita namakan garis

c.        Himpunan titik-titik yang kita namakan bidang

       Jadi ada 3 unsur tak terdifinisi yaitu: titik, garis dan bidang. Ketiga unsur ini dikaitkan satu sama lain dengan sebuah sistim aksioma yaitu sistem aksioma insidensi.

Ada 6 buah aksioma yaitu:

I.1     Garis adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit dua titik

I.2     Dua titik yang berlainan terkandung dalam tepat satu garis

I.3     Bidang adalah himpuan titik-titik yang mengandung paling sedikit tiga titik yang tidak terkandung dalam satu garis ( tiga titik tak segaris)

I.4     Tiga titik yang berlainan  yang tak segaris terkandung dalam satu dan tidak lebih dari satu bidang

I.5     Apabila sebuah bidang memuat dua titik berlainan dari sebuah garis, bidang itu akan memuat setiap titik pada garis tersebut ( garis terletek pada bidang)

   I.6     Apabila dua bidang bersekutu pada sebuah titik maka kedua bidang itu akan

             bersekutu pada titik kedua yang lain

Definisi:

       Sebuah himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan bidang

        yang memenuhi sistem aksioma 1 sampai dengan 6 disebut suatu geometri insidensi

Teorema 1

       Dua garis yang berbeda bersekutu atau berimpit pada paling banyak satu titik

Definisi:

        Sebuah garis yang memuat titik A dan titik B yang terletak pada ujung lain disebut

        garis AB.

Teorema 2

       Apabila titik A tidak pada garis BC maka titik A, titik B, titik C berlainan dan tidak

       kolinear.

Bukti.

       Menurut ketentuan titik B ≠ titik C . Andaikan titik A = titik B oleh karena B BC ( B pada garis BC ), maka A   BC . berlawanan dengan yang diketahui sehingga pengummpamaan A = B adalah tidak benar. Maka haruslah A = B. Begitu pula dengan cara yang sama A= C. Jadi A,B dan C berlainan .

       Andaikan A,B dan C segaris, sehingga ada garis g yang memuat A, B dan C. Oleh karena g memuat B dan C dan B = C maka g = BC jadi A BC ini berlawan dengan yang diketahui, sehinggga perumpamaan bahwa A,B dan C segaris tidak benar. Ini berarti A,B dan C tidak kolinier.

Teorema 3.

       Sebuah garis dan sebuah titik yang tidak pada garis itu termuat tepat dalam satu bidang

Bukti:

       Andaikan titik A dan garis g dengan A   g .( A tidak pada g ) Menurut I.1 ada dua titik berlainan misalkan B dan C  pada g. Sehingga g = BC. Jadi A  BC. Menurut teorema F.2 A,B,C berlainan dan tidak segaris, menurut 4  A,B dan C termuat dalam sebuah bidang V. Oleh karena B V, C V, maka menurut I.5, BC = g V ( V memuat g ). Andaikan ada bidang lain V’ yang memuat g dan A . Jadi V’ memuat pula B dan C . Ini bearti V’ memuat A,B dan C . Menurut I.4 V’ = V . Ini berarti V satu-satunya bidang yang memuat g dan A

Definisi

1. Andaikan A  g. Satu-satunya bidang yang memuat g dan A kita tulis sebagai gA
2. Andaikan A,B dan C berlainan dan tak kolinear . Satu-satunya yang memuat A, B dan C kita tulis sebagai bidang ABC.

Definisi

Dua garis l dan m dinamakan sejajar apabila:

1. l dan m termuat dalam satu bidang
2. l dan m tidak memiliki titik sekutu ( titik temu)

Teorema akibat :

Apabila l // m  maka l dan m termuat dalam tepat satu bidang

Bukti

Menurut definisi, ada sebuah bidang V yang memuat l dan m. Andaikan V’ juga memuat l dan m ; andaikan A  m , maka V’ dan V memuat l dan A . Menurut Teorema 3 V’ = V

                               

Teorema 4

       Jika dua garis yang berbeda berpotongan, kedua garis itu termuat dalam tepat satu bidang

Bukti

Andaikan l dan m garis berbeda yang berpotongan tersebut ; andaikan A  l dan A  m ( sebab l dan m berpotongan ). Menurut 1 ada B  m dan B = A , B  l . maka ada sebuah bidang V yang memuat l dan B . Oleh karena  V memuat l maka V memuat A, sehingga memuat m . Jadi V memuat l dan m

Teorema 5

       Apabila dua bidang yang berlainan berpotongan maka himpunan titik potongnya adalah sebuah garis

Bukti

Andaikan P dan Q dua bidang yang berbeda dan yang berpotongan, andaikan A salah satu ttitik temunya jadi A  P dan A  Q , maka ada titik kedua B dengan B P dan B Q, jadi AB = P , ini berarti tiap titik AB memuat di P dan di Q

       Akan dibuktikan P Q = AB . Telah dibuktikan diatas bahwa AB  P   Q tinggal membuktikan bahwa P Q  AB .Andaikan C P Q  Andaikan C  AB , oleh karena AB dan C termuat dalam P dan dalam Q maka P = Q . Bertentangan dengan yang diketahui jadi permisalan C  AB tidaklah benar , sehingga C AB . Ini berarti bahwa P Q AB. Oleh karena itu telah terbukti nahwa  AB  P Q maka P Q = AB

Akibat :

Apabila ada garis g  V dan g  W, maka g = V   W

Definisi

Dua bidang V dan W disebut sejajar apabila V dan W tidak memiliki titik temu ( titik potong)

Teorema 6

       Apabila bidang P sejajar bidang Q dan bidang R memotong bidang P dan bidang Q maka himpunan P  R dan Q R  adalah garis-garis yang sejajar

Bukti

       Pertama akan dibuktikan bahwa P R dan Q R  adalah garis –garis. Untuk itu dibuktikan bahwa P dan R berlainan dan Q dan R juga berlainan. Andaikan P R . Oleh karena R memotong Q maka ini berarti P memotong Q . Ini tak mungkin jadi haruslah         P   R , ini berarti P R  adalah sebuah garis l. Begitu pula Q R  adalah sebuah garis m ; l dan m termuat dalam satu bidang yaitu R, andaikan l dan m berpotongan, misalnya l  m  = A  maka A  P dan A  Q . Jadi P dan Q bertemu di A ; tak mungkin . Jadi l dan m terletak pada satu bidang dan tidak memiliki titik temu. Ini berarti l //m.

Definisi

1. Apabila garis-garis g₁, g₂,...., g_n bertemu pada satu titik dinamakan garis g₁, g₂,...., g_n konkuren
2. Apabila bangun geometri B₁, B₂, ..., B_n terletak pada satu bidang ; kita namakan bangun-bangun itu sebidang atau koplanar

Teorema 7

       Apabila tiap dua garis dari sekelompok tiga garis koplanar, akan tetapi tidak bertiga koplanar maka ketiga garis itu konkuren atau tiap dua garis diantaranya sejajar

Bukti

       Andaikan tiga garis itu l, m dan n ; andaikan l, m di bidang P , m, n dibidang Q dan l ,n di bidang R . Akan dibuktikan P, Q, R berlainan. Andaikan P = Q maka l,m,n sebidang, ini tak mungkin, jadi haruslah P  ≠ Q , begitu pula Q ≠   R dan P ≠ R , oleh karena itu maka P Q  = m , Q   R  = n, P   R  ≠  l, andaikan l m = A  dan A l ,maka A R  dan

 A P . Oleh karena A m maka A   P dan A Q . Jadi A Q dan A R ini berarti bahwa A n. Sehingga apabila dua garis diantara l,mdan n berpotongan maka tiga garis itu konkuren.

       Apabila tiap dua garis diantara l, m, dan n tidak berpotongan, maka berhubung tiap dua garis itu sebidang, tiap dua garis tersebut sejajar

Teorema akibat

       Apabila l //m  dan A tidak terletak dalam bidang yang memuat l dan m, maka ada garis tunggal n yang memuat A sehingga n //l dan n //m

Bukti

       Ada bidang P yang memuat l dan A dan ada bidang Q yang memuat m dan A, maka P = Q sebab A tidak terletak pada bidang yang memuat l dan m, andaikan P Q = n, maka n // l dan n // m.

       Dibuktikan n tunggal. Andaikan n’ garis lain yang memuat A dan n’ // l dan n’ // m maka  n’ dan l sebidang dibidang R. Maka R harus memuat l dan A . Jadi R = P .

 Jadi n’ P  begitu juga n’ Q , sehingga n’ = n

GEOMETRI TERURUT

(TEORI URUTAN PADA GARIS)

Kita telah  rumuskan  teori dasar insidensi,  dan sekarang kita berada pada permasalahan  meletakkan  teori  urutan  dalam  geometri  sebagai  dasar  yang  kuat. studi relasi urutan titik pada suatu garis

1.  Konsep Urutan

            Urutan  merupakan  salah  satu  ide  matematis  yang  paling  dasar.  Kita menemukan  urutan  dalam bentuk  aljabar  saat  kita  belajar  menghitung,  dalam bentuk geometrik saat kita mengamati bahwa suatu objek berada disebelah  kiri objek  lainnya atau  objek tersebut  berada diatara  dua  objek  lainnya  atau berada  di  sisi  lintasan  yang berlawanan  dari  objek  lainnya.  Seperti  yang  telah  kita  pelajari sebelumnya,  teori insidensi  gemetrik  dapat  dikembangkan,  tetapi  geometri  diperkaya  dengan pengenalan  mengenai  konsep  urutan.  Hal  ini  jelas  diperlukan  sebagai  studi  posisi relativf  titik  pad a  garis,  tetapi  penting  juga  sebagai  definisi  dan  studi  ban yak  ide nonlinier’ yan g  penting. Tanpa  konsep urutan, kita  tidak mampu  mengklarifikasi ide tentang  arah,  pemisahan,  dan  interioritas-tanpa  geometri,  kita  bahkan  tidak  mampu mendefinisikan segitiga

Ada dua  cara dalam  mempelajari  konsep  dalam  teori  matematis; 

1.    Untuk  mendefinisikan  konsep sehubungan  dengan  maksud  dasar  lainnya; 

2.    Untuk menganggap konsep sebagai maksud dasar dan mengkarakteristikan  konsep

        dengan  postulat  yang  sesuai. Tampaknya  sulit  untuk  mendefinisikan  ide  urutan

        sehubungan  dengan  titik,  garis bidang-jadi kita akan gunakan prosedur yang kedua.

          Ada  dua  teori  urutan  yang  terkenal  yang  disebut  dengan  teori  precedence (yang lebih didahulukan) dan teori betwenness (ke-antaraan). Pada teori yang pertama elemen  suatu  himpunan  “diurutkan”  d engan  menspesifikasi  relasi  dua  suku  (atau biner)  yang disebut precedence, misaln ya “ke sebelah kiri dari”  dalam himpunan  titik pada  garis,  atau  “lebih  besar  dari”  untuk  himpunan  bilangan  rasional. Dalam  teori kedua,  relasi  tiga  suku  (atau  ternary)  yang  disebut  ke-antaraan  dispesifikasikan dalam  suatu  himpunan,  sebagai  contoh,”  ke-antaraan  untuk  titik  dalam  garis.  Tentu saja dalam setiap teori, postulat yang sesuai dapat saja diasumsikan. Kalau dinyatakan secara formal, teori precedence meliputi relasi dua suku a<b (dibaca a  mendahului  b, bukan  a kurang dari b) dan himpunan dasar S yang  memiliki elemen a, b, c,… yang memenuhi postulat berikut ini:

P1. a<a akan selalu salah                                                 

P2. a< b, b<c secara tak langsung menyatakan a <c

P3. jika a dan b keduanya berbeda maka salah satu dari relasi a<b, b<a akan berlaku :

            Dalam aljabar, teori urutan didasarkan atas hubungan mendahului dari pada ke-antaraan karena sifatnya yang lebih sederhana. Dalam geometri, tampaknya lebih alami menggunakan ke-antaraan sebagai pondasinya. Karena dalam bidang tersebut, tidak ada relasi mendahului yang unik untuk titik dalam garis; lebih alami mengurutkan titik tersebut dalam hubungan “ke bagian kiri dari “ sebagai relasi invers “ ke bagian kanan dari’.    

            Kenyataannya tidak ada metode geometrik intrinsic yang digunakan untuk membedakan relasi-relasi ini. (garis tidak hanya dengan membentuk garis ke arah kiri atau kanan saja). Selanjutnya, karena ada banyak garis dalam geometri, perlu dipilih relasi mendahului diantara semua garis, dan tidak ada cara yang alami untuk mengikat relasi ini secara bersama. Dasar teori urutan dalam geometri tentang ke-antaraan mencoba menghindari kesulitan tersebut dan me nampakkan kealamiannya dalam setiap kasus.

2. Postulat untuk Ke-antaraan

Ada banyak sistem postulat untuk ke-antaraan yang dipilih untuk bahasan ini yang cukup sederhana, tidak sulit diingat, dan dapat memfasilitasi generalisasi pembelajaran urutan dalam bidang dan ruang. Kita pertimbangkan geometri insidensi umum yang memenuhi 11-16, dan memperkenalkan maksud dasar tambahan ‘antara’  yang disimbolkan dengan (abc) yang dibaca titik a, b, c berada pada urutan abc atau b diantara a dan c. (postulat E pada bab 9 tidak diasumsikan). Kita asumsikan bahwa relasi’antara’ memenuhi postulat berikut ini;

B1. ( sifat simetri) (abc) secara tak langsung menyatakan (cba)

B2. (sifat antisiklik) (abc) secara tak langsung menyatakan ketidakbenaran dari (bca)

B3. (kohenrensi linier) a, b, c berbeda dan kolinier jika dan hanya jika (abc), (bca), atau

      (cab)

B4. (sifat pemisahan) misalkan p kolinier dan berbeda dari a, b, c, maka (apb) secara tak

        langsung menyatakan (bpc) atau (apc) tetapi tidak keduanya

B5. (eksistensi) jika a ¹b ada x,y,z sedemikian sehingga (xab), (ayb), (abz).

Postulat ini pantas mendapatkan beberapa catatan. Perhatikan bahwa postulat ini disajikan dengan diagram yang mudah dibuktikan secara diagram. Perhatikan B1 merupakan sifat simetri yang sederhana, yang menyatakan bahwa kita dapat secara simetri mempermutasikan elemen dalam relasi (abc) tanpa mengganggu kevaliditasannya. B2 menyatakan bahwa kita dapat merusak kevaliditasan (abc) jika kita gunakan permutasi siklik yang menggantikan a,b,c dengan b,c,a. Postulat B3 menghubungkan ide dasar antara dengan ide dasar titik dan garis dalam teori insidensi.Tanpa beberapa sifat tersebut, kita menjadikan dua teori menjadi bagian terpisah-satu untuk insidensi dan satu untuk keantaraan. B3 mudah diingat karena relasi urutan yang terlibat adalah permutasi siklik (abc).

B3.1. (abc) secara tak langsung menyatakan a, b, c berbeda dan kolinier

B3.2. jika a, b, c berbeda dan kolinier maka (abc), (bca) atau (cab)

Sesungguhnya B3 ekivalen dengan B3.1. dan B3.2 dan merupakan formulasi untuk kedua sifat ini. B4 merupakan bentuk linier atau satu dimensi dari postulat Pasch (Bab 11, sub Bab 1) yang diformulasikan sebagai sifat segitiga. Postulat tersebut dianggap postulat pemisahan lemah. Jadi, cara membaca (abc) adalah b memisahkan a dari c. maka konklusi B4 menyatakan: jika p memisahkan a dari b, maka p pasti memisahkan a atau b dari c, tetapi tidak keduanya. Jadi, c harus berada pada sisi p yang berlawanan dengan a atau dengan b, tetapi tidak keduanya. Perhatikan bahwa dalam B4 tidak ada asumsi yang dibuat tentang keberbedaan a, b, d; dan bahwa asumsi tersebut valid, misalnya jika b=c. B5 diperkenalkan untuk menjamin eksistensi titik yang ada dalam bahasan  kita. B5 berguna untuk mencegah teori menjadi trivial.

3. Sifat ke-antaraan Elementer

Dalam sub bab ini, kita mendiskusikan sifat urutan tiga titik. Diantaranya adalah B3.1 dan B3.2 dari sub bab 2. dari B3.1. (dalam pandangan postulat insidensi), kita secara mudah dapat menurunkan prinsip-prinsip di bawah ini:

i.                    (abc) secara tak langsung menyatakan ab=bc=ac

ii.                  (abc) secara tak langsung menyatakan bahwa ab memuat c, bc memuat a, ac memuat b Diberikan relasi ke-antaraan, katakanlah (abc), akan kita tanyakan relasi keantaraan mana yang mengikuti relasi ini. B1 dan B2 memberikan jawaban yang

            parsial. Pertanyaan selengkapnya diperoleh dalam

Teorema 1. (abc) secara tak langsung menyatakan (cba), dan (abc) secara tak langsung  menyatakan ketidakbenaran dari (bca), (bac), (acb) dan (cba).

Bukti:    (abc) secara tak langsung menyatakan (cba) menurut B1. (abc), (cba)

               memplikasikan ketidakbenaran dari (bca), (bac) menurut B2. Anggaplah (acb);

               maka menurut B1, (bca) yang salah. Karenanya (acb) pastilah salah. Argumen

               serupa membuktikan bahwa (cab) salah.

Corollary. (abc) jika dan hanya jika (cba). Yakni (cba) dan (cba) adalah Ekivalen.

Hal ini terbukti, dalam artian, teori urutan untuk tiga titik. Selanjutnya (lihat sub bab 15 di bawah ini) kita diskusikan teori urutan untuk 4 titik. Kita lanjutkan sekarang dengan menggunakan teori urutan untuk mendefinisikan dan mempelajari segmen dan garis berarah.

4. Segmen

Bangun geometrik yang paling sederhana dan terpenting, setelah garis adalah segmen, yang mudah didefiniskan dalam istilah urutan:

Definisi, jika a ¹b, himpunan semua titik x sedemikian sehingga (axb) disebut segmen ab, yang dinotasikan ab , a dan b disebut titik ujung segmen ab, yang dikatakan menghubungkan a dan b.Perhatikan bahwa segmen seperti yang didefinisikan, merupakan himpunan titik. Kita bahkan tidak dapat mengukur segmen atau membandingkan segmen berukuran lebih kecil atau besar.

Teorema 2. jika a ¹b maka

i.

 ii.  merupakan subset dari

iii. a, b, bukan elemen dari  , bukan himpunan kosong

Bukti.

(i) menyatakan bahwa  dan ba merupakan himpunan yang identik. Hal ini berarti bahwa himpunan tersebut terdiri atas elemen yang sama. Artinya, setiap elemen  merupakan elemen , dan konversinya, setiap elemen  merupakan elemen  Dengan menggunakan simbol, kita harus membuktikan bahwa jika x berada pada  , maka juga harus berada dalam  , dan berlaku pula konversinya. Menurut definisi  , x nerada dalam  jika (axb). Lalu x juga berada pada ba jika (bxa). Jadi harus dibuktikan bahwa (axb) secara tak langsung menyatakan (bxa) dan konversinya juga berlaku. Yakni (axb) dan (bxa) ekivalen. Hal ini berlaku menurut corollary teorema 1. Jadi, kita simpulkan

(ii) Kita harus tunjukkan bahwa setiap elemen ab berarti (axb). Hal ini secara  tak langsung menyatakan, seperti yang didiskusikan di sub bab 3, bahwa x berada pada , dan bukti telah lengkap.

(iii) Anggaplah a merupakan elemen  . Maka menurut definisi  , kita

mendapatkan (aab), yang kontradiksi dengan B#1. Jadi a bukan elemen dari  .

Hal ini juga berlaku untuk b.

(iv) Hal ini berarti bahwa setidaknya memiliki satu elemen. Karena a ¹b,

ada suatu titik x sedemikian sehingga (axb) menurut B5. Menurut definisi, x berada

pada  , dan bukti telah lengkap.

Catatan. Sifat (iii) meenyatakan bahwa segmen seperti yang didefinisikan, tidak memuat titik ujung. Studi sekolah geometri mendiskusikan bahwa segmen memuat titik-titik ujungnya. Tidak ada kontradiksi: disini kita memiliki dua konsep terhubung yang disebut segmen terbuka dan segmen tertutup. Ternyata lebih mudah mempelajari segmen terbuka, karena mudah dikonversikan menjadi tertutup dengan menghubungkan titik ujung, dan kebalikannya menjadi terbuka dengan menghilangkan titik ujungnya. Secara umum, bangun geometrik “terbuka”tampaknya lebih mudah dipelajari daripada yang tertutup karena lebih umum; tidak ada titiktitiknya  yang merupakan titik batas.

5. Garis Berarah

Garis berarah muncul secara implisit dalam Euclid dalam bentuk sisi suatu  sudut. Garis berarah dapat dijelaskan sebagai lintasan yang diikuti oleh titik yang dimulai dari suatu titik dan bergerak tak berujung pada suatu arah yang diberikan.

Gambar 10.1

Jika titik awal adalah a, dan b merupakan titik pada arah yang diberikan dari a,  maka garis akan terdiri atas semua titik antara a dan b, dan bersama dengan b, semua titik diluar b yang relatif terhadap a (gb 10.1).

Gambar 10.2

Ada bentuk konstuksi lainnya. Untuk menjelaskan hal tersebut, misalkan a  merupakan titik awal, tetapi anggaplah arah yang diberikan ternyata berlawanan  dengan arah sebelumnya, yakni dari a secara langsung berlawanan dengan titik b (Gambar 10.2). maka garis akan terdiri atas semua titik “diluar” a “yang relative terhadap” b. Kedua bentuk konstruksi tersebut (atau definisi) ternyata penting dan diperlukan dalam perkembangan. Bentuk pertama tampaknya lebih natural, tetapi melibatkan tiga komponen terpisah; bentuk kedua, yang banya melibatkan komponen yang lebih sederhana. Jadi, kita mendasarkan definisi garis menurut konstruksi  kedua-karena akan kita lihat, bentuk pertama ternyata harus gagal.

Definisi. Jika a¹b, himpunan semua titik x sedemikian sehingga (xab) disebut garis berarah dan dinotasikan dengan a/b, dibaca a atas b. kadang-kadang a/b disebut perpanjangan atau prolongasi diluar a. titik a dikatakan titik ujung garis a/b.

Catatan. Perhatikan bahwa garis didefinisikan sehubungan dengan titik dan ke-antaraan. Deskripsi intuitif sehubungan dengan “arah” yang dihasilkan, menurut analisis, merupakan definisi formal dimana “arah” tidak muncul. Akan tetapi, ide arah tetap menjadi bagian substruktur pengetahuan geometrik: ide tersebut membantu kita mengerti dan mengasimilasikan sifat garis dan bahkan membuka pemikiran akan sifat yang baru.

Definisi diatas tentang garis dimotivasi oleh ide mengenai arah. Dengan memformalisasikan konsep garis, kita dapat menggunakan konsep tersebut dan kita

bisa memberikan arah yang tepat. Misalkan, kita mendefinisikan “b” dan c berada pada arah yang sama dari a untuk mengartikan bahwa b dan c memiliki arah sinar yang sama dengan titik ujung a. Ide yang lebih sulit bahwa arah dari a ke b adalah sama seperti dari c menuju d (dimana a, b, c, d merupakan titik-titik yang kolinier) dapat didefinisikan sehubungan dengan konsep garis berarah (lihat latihan 3 pada akhir bab). Sekarang kita lihat analogi parsial dari teorema 2 untuk segmen

Teorema 3. jika a¹b, maka

i. a/b, b/a merupakan subset dari ab

ii. a, b bukan elemen dari a/b

iii. a/b merupakan himpunan tak kosong

Bukti.

(i) kita buktikan a/b merupakan subset dari ab dengan menunjukkan bahwa setiap elemen a/b juga elemen dari ab. Misalkan x merupakan elemen a/b. menurut definisi a/b, kita mendapatkan (xab). Hal ini secara tak langsung menyatakan bahwa x berada pada ab. Jadi a/b merupakan subset ab. Hal yang serupa juga berlaku untuk b/a.

(ii). Lanjutkan seperti pada teorema 2, asumsikan a (atau b) berada pada a/b dan dapatkan suatu kontradiksi

(iii) gunakan B5 seperti dalam teorema 2.

Perhatikan dalam pandangan (ii), bahwa garis berarah serupa dengan segmen , merupakan bangun” terbuka”-tidak mengandung titik ujung. Bagian ini menyelesaikan teori urutan pada garis. Setelah menurunkan sifat  ke-antaraan elementer, kita perkenalkan bangun linier dasar, segmen dan garis berarah dan mempelajari sifatnya yang paling sederhana. Untuk memfasilitasi studi yang lebih mendalam mengenai teori urutan ini, kita simpangkan bahasan kita dengan menghadirkan elemen teori himpunan.

6. Dekomposisi Suatu Garis yang ditentukan oleh dua titiknya

Sekarang kita persiapkan diri membuktikan beberapa sifat urutan, seperti yang diasumsikan Euclid, yang telah didiskusikan di Bab 1. Pertama akan ditunjukkan bahwa dua titik dari suatu garis akan menyebabkan pecahnya menjadi satu segmen dan dua garis berarah.

Teorema 4. Jika a¹b maka ab=a/b È È b È b/a, dan dua suku di sebelah kanan tanda sama dengan adalah saling asing.

Gambar 10.3

Bukti. Misalkan S menunjukkan himpunan a/b È a È  È b È b/a. Kita buktikan S = ab dengan menunjukkan bahwa S Ì ab dan konversinya ab Ì S.  Menurut teorema 2 dan 3, setiap  , a/b, b/a merupakan subset dari ab. Karena a,b Ì ab, maka S Ì ab,

Sekarang kita tunjukkan ab Ì S. misalkan x Ì ab. Jika x=a, atau x=b, maka x  berada dalam S. jika x ¹a, b maka menurut B3.2, (abx), (bxa) atau (xab). Pertama,  anggaplah (abx). Maka B1 secara tak langsung menyatakan (xba) dan x Ì b/a  menurut definisi garis berarah. Karenanya x Ì S. selanjutnya, anggaplah (bxa).

Maka x Ì  =  , sehingga x Ì S. jadi, jika (xab) maka x Ì a/b; karenanya

 x ÌS. jadi setiap titik dari ab berada pada S, atau ab ÌS. Kita simpulkan S = ab. Menurut hipotesis, a ¹b. menurut teorema 2 dan 3 aË  , a/b, b/a dan bË , a/b, b/a. Anggaplah  dan a/b tidak saling asing. Misalkan x adalah titik yang  dimiliki kedua himpunan itu. Maka (axb) dan (xab), yang kontradiksi dengan teorema 1. Karenanya  dan a/b saling asing. Serupa pula, untuk  dan b/a. jadi, jika x dimiliki oleh a/b, b/a maka (xab) dan (xba), yang kontradiksi dengan teorema 1. Karenanya a/b, b/a saling asing dan  bukti telah lengkap.

7. Penentuan Garis Berarah

Garis a/b ditentukan dengan menspesifikasi titik ujung a dan titik kedua b, tetapi b tidak berada pada garis a/b (teorema 3). Relasi antara konsep garis berarah dan ide arah menyatakan bahwa a/b dapat ditentukan dengan menspesifikasi titik  ujung a dan satu dari titiknya, katakanlah c-karena dirasa c terletak pada arah yang  unik dari a. Hal ini ditetapkan dalam cororllary 1 di di bawah ini. Corollary 1 menghasilkan definiasi (dan notasi) untuk cara baru penentuan garis berarah, yang  dihubungkan dengan formulasi asal dalam corollary 3, 4, 6, 7. Kunci untuk diskusi lebih lanjut adalah teorema 5, yang dapat dinyatakan:

Jika dua garis berarah dengan sama titik ujung memiliki titik yang dimiliki bersama, maka mereka pasti saling berimpit.

Teorema 5. jika p/a bertemu dengan p/b maka p/a=p/b.

Gambar 10.4

Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa (apb) salah dengan menggunakan B4.

Misalkan  c Ì p/a, p/b. Maka (cpa) dan (cpb), sehingga p¹c, a, b dan p kolinier dengan c, a, b.  jadi menurut B4, (cpa) secara tak langsung menyatakan (cpb) atau (apb) tetapi tidak keduanya. Karenanya (cpb), maka (apb) salah. Sekarang kita tunjukkan bahwa p/a Ì p/b. misalkan x Ì p/a; maka (xpa). Kita tunjukkan (xpb) dengan menggunakan B4. karena p¹x, a, b dan p kolinier dengan x, a, b, dengan menggunakan B4 (xpb) atau (apb). Karena (apb) salah, (xpb) terjadi sehingga x Ì p/b. jadi, p/a Ì p/b. jika kita tukar a dan b dalam argumen ini, kita  peroleh p/b Ì p/a. jadi p/a=p/b.

Corollary 1, jika p ¹ a, ada satu dan hanya satu garis berarah dengan titik ujung p yang memuat a.

Bukti. Karena p¹a, menurut B5, ada titik x sedemikian sehingga (apx). Jadi aÌp/x dan p/x merupakan garis berarah dengan sifat yang diinginkan. Karena sebarang garis berarah dengan titik ujung p akan memiliki bentuk p/y, anggaplah p/y memuat a. maka p/x bertemu dengan p/y dan menurut teorema tersebut, p/x=p/y.

Hasil ini menetapkan permasalahan penentuan garis berarah. Dapat dinyatakan dengan: garis berarah ditentukan dengan menspesifikasi titik ujung dan satu dari titik-titiknya. (tentu saja dua titik tersebut harus berbeda). Dapat diekspresikan dengan istilah “global” sebagai berikut: himpunan semua titik, yang tidak termasuk titik p yang diketahui, dikatakan “tercakup” oleh himpunan garis berarah dengan titik ujung p.

(a)                                                                                                                                                                                  (b)

Gambar 10.5

Pengantar konsep garis berarah (sub bab 5) mencakup dua konstruksi informal yang dapat dijelaskan sebagai berikut:

(A) mulai dari titik a dan bergerak tidak berujung dalam arah yang diberikan  oleh titik b (gb 10.5 (a)).

(B) Mulai dari a dan bergerak tidak berujung dalam arah yang berlawanan dengan b  (gb 10.5 (b)). Konstruksi (B) menghasilkan definisi garis berarah dalam bentuk a/b. sekarang Corollary 1 memudahkan kita memformalisasikan (a).

Definisi. Jika p ¹ a, garis berarah unik dengan titik ujung p yang memuat a  dinotasikan dengan pa dibaca “garis berarah pa atau panah pa’.

Corollary 2. M isalkan R adalah garis berarah dengan titik ujung p. maka aÌR  secara tak langsung menyatakan R = .

Bukti. Menurut Teorema 3, p ¹ a. R merupakan garis berarah dengan titik ujung p yang memuat a. menurut corollary 1, R hanya satu-satunya garis berarah. Jadi  menurut definisi R adalah  .

Hal ini dapat diekspresikan secara lebih tegas dengan menggunakan bentuk  khusus untuk R, misalnya: Jika a Ì p/x maka p/x =

Corollary 3. sebarang garis berarah p/x dengan titik ujung p dapat diekspresikan dalam bentuk  .

Bukti. Menurut teorema 3, p/x tidak kosong dan memuat titik a. jadi p/x = pa .

Corollary 4. (apb) secara tak langsung menyatakan  = p/b, = p/a.

Bukti. (apb) secara tak langsung menyatakan a Ì p/b. menurut corollary 2, p/b=  . Menurut B1 (apb) secara tak langsung menyatakan (bpa) dan argument  diatas menghasilkan p/a =  .Hasil ini sangatlah berguna; hasil ini memudahkan kita mengkonversikan garis berarah dari bentuk ‘panah’ menjadi bentuk pecahan atau kebalikannya bila  diperlukan. Secara kasar, hasil ini dapat dibandingkan dengan prinsip aljabar a/b=ab yang mengkonversikan hasil bagi menjadi hasil kali. Kita gunakan bentuk ini untuk membuktikan:

Corollary 5.  Ì ab , asalkan a¹b

Bukti. Misalkan c memenuhi (cab). Menurut corollary 4 dan teorema 3,  = a / c Ì ac = ab

Relasi garis berarah a/b dan  pada garis ab ditunjukkan dalam diagram ( gb10.7).

Gambar 10.7

Corollary 4 memiliki dua akibat tambahan yang berhubungan dengan bentuk garis berarah ‘panah’ dan ‘pecahan’.

Corollary 6. jika  = p/b maka  = p/a

Bukti. a Ì  =p/b. jadi (apb) dan corollary 4 secara tak langsung  menyatakan    =p/a.

Corollary 6 menyatakan bahwa jika arah a dari p berlawanan dengan arah b, maka arah b dari p berlawanan dengan arah a. diekspresika nsecara formal, bentuk ini merupakan prinsip transposisi karena mempertukarkan a dan b dalam hubungan = p/b untuk memperoleh  = p/a.

Corollary 7.  = pb jika dan hanya jika p/a dan p/b.

Bukti. misalkan  = = p/x. menurut corollay 6, px =p/a dan px =p/b. jadi p/a=p/b.

Konversinya, misalkan p/a =p/b = py . Menurut corollay 6,  = p/y dan  =p/y sehingga =

8. Garis berarah yang berlawanan

Maksud garis berarah yang berlawanan didasarkan atas ide arah yang berlawanan dari suatu titik. Muncul pada pembelajaran geometri dalam bentuk sisi  sudut lurus. Penting dilakukan dalam pembelajaran geometri sebagai lawan dari  bilangan. Misalnya, -5 dan 5 adalam aljabar. Definisi diberikan dengan menggunakan

analisis diagram yang sudah dikenal (gb 10.8) yang berhubungan dengan konsep keantaraan.

Definisi. Garis berarah R, R’ adalah berlawanan jika kedua garis tersebut memiliki titik ujung yang sama p, dan p diantara setiap titik R dan setiap titik R’.

Teorema 6. misalkan R, R’ memiliki titik ujung yang sama p. misalkan ada  titik a dalam R, dan titik b dalam R; sedemikian sehingga (apb). Maka p diantara  setiap titik R dan setiap titik R’, sehingga R dan R’ berlawanan.

Bukti. misalkan xÌ R, yÌ R’; kita tunjukkan (xpy). Karena aÌ R, bÌ R’,

maka

(1) R= =

(2) R’=  =

Kita akan mengeleminasi a, b dalam (1), (2) untuk memperoleh relasi yang melibatkan x,y, p. (apb) secara tak langsung menyatakan (teorema 5, corollary 4)

(3)  =p/b

(1) dan (3) menghasilkan                                                                                                      (4 =p/b) dan kita telah mengeleminasikan a. persamaan (4)secara tak langsung menyatakan (teorema 5, corollary 6)                                                                               

(5) = p / x                                                                                                               persamaan (2) dan (5) secara tak langsung menyatakan  =p/x dan b dieliminasi.Jadi, yÌp/x sehingga (ypx) dan (xpy). Untuk melengkapi bukti, perhatikan bahwa R, R’ berlawanan dengan definisi.

Corollary 1.garis berarah  dan p/a berlawanan dan p diantara sebarang dua titik terhadap garis berarah tersebut.

Bukti. misalkan xÌp/a. maka (xpa). Karena xÌp/a dan aÌ  , hasilnya mendekati teorema tersebut.

Corollary 2. anggaplah (apb). Maka p/a dan p/b berlawanan dan p diantara sebarang dua titik dari garis berarah btersebut.

Bukti. (apb) ,secara tak langsung menyatakan aÌp/b dan bÌp/a. karenanya teorema berlaku.

Corollary 3. sebarang pasangan garis berarah yang berlawanan akan saling asing

Bukti. anggaplah R, R’ merupakan garis berarah yang berlawanan dan titik x dimiliki bersama oleh R dan R’ .maka menurut definisi garis yang arahnya berlawanan ( xpx) untuk titik ujung p yang dimiliki bersama, yang kontradiksi dengan

B3.1.

Corollary 4. tidak ada garis berarah yang berlawanan dengan dirinya sendiri

Bukti. dengan menggunakan corollary 3, karena tidak ada garis berarah yang merupakan himpunan kosong. Corollary terakhir agak kurang akrab didengar dan agak aneh, tetapi tidaklah  trivial. Jenis sifat ‘inrefleksif’ ini terjadi dalam banyak situasi; dalam aljabar tidak ada bilangan yang kurang dari dirinya sendiri; dalam geometri, tidak ada garis yang tegak lurus terhadap dirinya sendiri; dan dalam soologi zertebrata, tidak ada makhluk hidup yang menjadi orang tua sendiri.

9. Konsep Pemisahan

Pemisahan merupakan salah satu ide terpenting geometrik dan terakar pad intuisi geometrik. Sebagai satu contoh, pertimbangkan pernyataan intuitif yang dikenal,  titik p dari garis L memisahkan L menjadi dua bagian atau sisi S, S’. kedengarannya seperti pernyataan, pisau membagi sepotong roti menjadi dua bagian. Tetapi kemiripan dalam intinya hanya berhubungan dengan pendengaran. Untuk titik  dan garis adalah pemisahan dan kita tidak dapat mendefinisikan pemisahan geometric sebagai proses fisik, meskipun dihubungkan dengan proses fisik. Tambahan pula, titik p berada pada garis L, pisau, tidak berada dalam roti. Titik tidak melakukan apapun pada garis, seperti pisau, roti-pemisahan geometris bukan proses sama sekali, intisarinya harus ditentukan dalam interrelasi tertentu dari empat objek; p, L, S, S’ ( gb 10.10).

Gambar 10.10

Bagaimana p, L, S, S’ diinterrelasikan? Tentu saja relasi tersederhana diantaranya adalah bahwa L diperoleh oleh S, S’ dna p; kita tidak ingin kehilangan bagian dari L dalam analisis konsep pemisahan. Jadi, kita perlu

(a) L = S È S’Èp

Tambahan pula, anggaplah S, S’ ¹ Æ. Jika pisau membagi dua roti, kita katakan roti dipisahkan tetapi satu dari komponen pasti kosong.  Sekarang kita perlukan (b) S, S’, p saling asing. Untuk ‘pemisah’, p seharusnya tidak milik sesuatu, S, S’ yang memisahkannya, dan untuk selanjutnya ‘dipisahkan’ oleh p sebaiknya tidak saling tumpang tindih.

Kondisi (a) dan (b) tidak cukup menjamin pemisahan, karena gagal mengindikasikan bahwa p memiliki peran berbeda dari S dan S’. titik p dikarenakan  ‘pemisah’ atau ‘penghalang’ untuk S dan S’; kita katakan ini berarti  (c) p diantara setiap titik dari S dan setiap titik dari S’ kondisi (a), (b) dan (c) tampak efisien untuk mengkarakteristikan ide pemisahan dan harusnya menghasilkan definisi yang lebih masuk akal. Akan tetapi, jika lebih diinginkan penggunaan prasa ‘p memisahkan L menjadi S, S’, jadi lebih diinginkan meniadakan kemungkinan bahwa p bisa saja memisahkan S dan S’menjadi himpunan yang lebih kecil. Kita inginkan S, S’ menjadi komponen ‘terakhir’ dari L, yakni S, S’ tidak dipisahkan oleh p. jadi, kita perlu (d) p tidak berada antara dua titik S atau S’ Kita ambil (a), (b), (c) dan (d) untuk mengkarakteristikan ide bahwa titik p memisahkan garis L menjadi himpunan tak kosong S, S’. Akan tetapi, analisis kita valid hanya dalam situasi lain; jika kita pakai, sebagai contoh, pada pemisahan segmen menjadi dua segmen dengan menggunakan satu dari titiknya. Jadi kita akan diperkenalkan pada hal berikut ini.

Definisi, kita katakan titik p memisahkan himpunan titik A menjadi himpunan tak kosong S dan S’ jika kondisi berikut ini terpenuhi;

i. A= S ÈS’Èp

ii. p berada antara setiap titik S dan setiap titik S’

iii. p tidak berada antara dua titik S atau S’

iv. S , S’, p saling asing

Kondisi (iv) terhubung langsung dengan (i) dan ditempatkan terakhir karena pada prakteknya seringkali lebih mudah dibuktikan setelah kondisi lainnya dibentuk.

10. pemisahan garis oleh salah satu titiknya

Dalam memformulasikan teorema pemisahan untuk titik p dan garis L, jelaslah himpunan pemisahan merupakan garis berarah, tetapi tidak ada cara yang sederhana dalam menspesifikasikan garis berarah sehubungan dengan p dan L. jadi kita ambil L sebagai bentuk ab dan asumsikan bahwa titik p memenuhi ( apb) . Maka kita dapat mengidnetifikasi himpunan pemisahan sebagai garis berarah p/a, p/b. Jadi, kita nyatakan

teorema 7. ( pemisahan garis). Anggaplah ( apb), maka p memisahkan ab menjadi p/a dan p/b.

bukti. perhatikan p/a dan p/b bukan kosong ( teorema 3). Kita harus membuktikan;

i. ab=p/aÈpÈp/b

ii. p berada antara setiap titik dari p/a dan setiap titik dari p/b

iii. p tidak berada antara dua titik dari p/a dan dari p/b

iv. p/a, p/b, p saling asing

bukti. ( i). misalkan S =p/aÈpÈp/b. kita buktikan ab= S dengan menunjukkan S Ìab dan abÌ S. ( apb) secara tak langsung menyatakan ab=pa=pb. Menurut teorema 3, p/a Ìpa, p/bÌpb. Jadi p/a, p/b Ìab. Karena p/a Ìpa=ab, maka p/aÈpÈp/bÌb atau SÌab.

Konversinya, anggaplah xÌab. Jika x=p tentu xÌ S. jika x¹p maka ( apb) secara tak langsung menyatakan p¹a,b,x dan p kolinier dengan a,b,x. jadi, menurut B4, (apb) secara tak langsung menyatakan ( apx) atau ( bpx), sehingga xÌp/a atau xÌp/b. dalam kasus lain, xÌ S. jadi abÌ S, sehingga ab= S.

Bukti (ii). Dengan menggunakan corollary 2 dari teorema 6, (apb) secara tak langsung menyatakan p berada antara setiap titik dari p/a dan setiap titik dari p/b

Bukti (iii). Anggaplah p antara titik x,y dari p/a. dengan menggunakan teorema 6, p/a berlawanan dengan p/a, yang kontradiksi dengan corollary 4 dari teorema 6. hal serupa berlaku pula untuk p/b.

Bukti (iv). pËp/a, p/b menggunakan teorema 3. dengan (ii), p/a, p/b berlawanan, karenanya saling asing menurut corollary 3 dari teorema 6.

Corollary 1. (pemisahan garis). Teorema berlaku jika kita gantikan p/a, p/b

dengan  , .

Bukti. (apb) secara tak langsung menyatakan p/a=  , p/b =  menggunakan corollary 4 pada teorema 5.

Mudah dibayangkan bahwa titik p dari garis L dapat memisahkan L menjadi  dua himpunan yang bukan garis berarh-atau p dapat memisahkan L menjadi garis  berarah dengan dua cara yang berbeda. Hal ini tidak dapat terjadi seperti yang kita  buktikan dalam

Corollary 2. (keunikan pemisahan).misalkan pÌ L. maka p memisahkan L secara unik menjadi dua himpunan; dan himpunan ini merupakan garis berarah  dengan titik ujung p yang sama .

Bukti. anggaplah p memisahkan L menjadi S, S’. menurut definisi (subbab 10)

L= S È S ‘Èp

Dengan suku bagian kanan saling asing dan S, S’ ¹ Æ. Misalkan aÌ S, bÌ S’. menurut

definisi, (apb). Jadi p memisahkan L menjadi pa , pb menurut corollary 1. Kita tunjukkan

 S =  , S ‘=  . misalkan xÌ S maka bÌ S’ secara tak langsung menyatakan (xpb). Karenanya xË  , untuk p bukan antara dua titik dari  . Karena  x¹p, kita simpulkan xÌ pa . dengan mempertukarkan a, b dalam argumen, maka kita  peroleh S’=  . Jadi, S, S’ secara unik ditentukan dan merupakan garis berarah  dengan titi kujung p. akhirnya, untuk menunjukkan bahwa p memisahkan L menjadi dua himpunan, perhatikan bahwa (cpd) berlaku untuk beberapa pasang titik c, d, dari L dan gunakan teorema atau corollary 1.  Kita peroleh dekomposisi garis yang cukup penting;

Corollary 3. (dekomposisi garis) jika a¹b,

ab=a/bÈaÈ  , dan a/b, a,  saling asing

bukti. dengan mengunakan B5, ada titik x sedemikian sehingga (xab). Jadi  teorema secara tak langsung menyatakan ab=xb=a/bÈaÈa/x, dengan a/b, a/x saling asing. Hasil terbukti karena (xab) secara tak langsung  menyatakan a/x= dengan menggunakan corollary 4 pada teorema 5.  Dekomposisi serupa berlaku untuk garis berarah;

Corollary 4. (dekomposisi garis berarah) jika a¹b   =  ÈbÈb/a, dan  , b, b/a saling asing.

Bukti. corollary 3 dan teorema 4 secara tak langsung menyatakan

ab=a/bÈaÈ

ab=a/bÈaÈ ÈbÈb/a

dengan menyamakannya maka

(1) a/bÈaÈ  = a/bÈaÈ ÈbÈb/a

karena suku pada bagian kiri dari (1) saling asing, seperti suku pada sebelah kanan,

kita dapat menghilangkan suku yang sama dalam (1) dengan menggunakan prinsip

kanselasi dari sub bab 6, dan memperoleh  = ÈbÈb/a,  dengan suku pada bagian kanan tetap saling asing.  Signifikansi dari formula ini adalah bahwa ab dilalui dengan bergerak dari a  menuju b, melewati b, dan tetap bergerak hingga tidak berujung dari a. kadangkala  digunakan sebagai definisi dari . Definisi tripartit yang demikian agak janggal,  tetapi digunakan untuk pembelajaran garis berarah dengan bentuk pa (teorema 5, corollary 1).

Corollary 5. anggaplah a¹b. maka x Ì  jika dan hanya jika (axb) atau x=b

atau (abx).

Bukti. corollary ini merupakan pernyataan ulang corollary 4 dimana  dan b/a digantikan oleh definisinya.

Corollary 6. (abc) secara tak langsung menyatakan  =  dan a/b =a/c.

Bukti. dengan menggunakan corollary 5,(abc) secara tak langsung  menyatakan bÌ . Maka  =  ( menurut teorema 5, corollary 2), dan a/b =a/c  terbukti (toerema 5, corollary 7).

11. Pemisahan segmen oleh salah satu titiknya

perlakuan kita bergantung sepenuhnya pada teorema pemisahan garis dan corollarynya.

Teorema 8 (Pemisahan segmen) anggaplah (apb). Maka p memisahkan   menjadi  dan  .

Gambar 10.12

Bukti. perhatikan  ,  ¹Æ. Kita harus tunjukkan

i.  = ÈpÈ ii. p berada antara setiap titik dari  dan setiap titik dari

iii. p tidak berada antara dua titik dari  atau dua titik dari

iv.  , p, saling asing

Untuk membuktikan (i), kita turunkan dua komposisi garis ab, persamakan dua komposisi tersebut, dan kanselasikan suku yang berlebihan.  Corollary 1,4 dan 6 dari teorema 7 secara tak langsung menyatakan

(1) ab=  ÈpÈ

 (2)  =  Èa Èa / p

(3) = ÈbÈb / p

(4) a/p=a/b, b/p=b/a

Dengan suku pada setiap sisi kanan (1), (2) dan (3), saling asing. Jika kita  substitusikan dari (4) menjadi (2) dan (3), dan substitusikan hasilnya dalam (1), maka  kita peroleh

ab=  Èa Èa / b È p È  Èb Èb / a

Hal ini secara tak langsung menyatakan

(5) ab= (  È p È )È(a / b Èa Èb Èb / a)

Dengan suku pada bagian kanan saling asing. Teorema 4 menghasilkan  ekspresi lain untuk ab karena gabungan dari suku yang saling asing, yakni

(6) ab=  È(a / b Èa Èb Èb / a)

dengan menyamakan anggota sebelah kanan dari (5) dan (6) dan gunakan  prinsip kanselasi (sub bab 6) kita peroleh

=  È p È

dan (i) terbukti. Kesimpulan (ii), (iii) dan (iv) berlaku dari sifat pemisahan  linier (teorema 7, corollary 1), karena  Ì  dan  Ì  dengan menggunakan

corollary 4 pada teorema 7.

Corollary 1. jika p Ì maka ,  Ì

Corollary 2. sebarang segmen merupakan himpunan tak hingga

Bukti. anggaplah  berhingga dan memuat tepat n titik. Misalkan p1 salah satu dari titik tersebut (  ¹Æ menurut teorema 2). Dengan menggunakan corollary

1, Ì .Tambahan pula, p1 Ì  ,tetapi p1 Ë dengan menggunakan teorema 2. oleh karena itu memuat n-1 titik paling banyak. Serupa pula memiliki subset yang

memuat n-2 titik paling banyak. Jadi kita punya bagisan segmen yangmenurun  ,   ,   , …  dengan setiap suku memiliki setidaknya satu titik yang kurang dari suku  sebelumnya, dan suku pertama,  , memuat n titik. Jadi memuat tidak ada titik, yang kontradiksi dengan teorema 2

corollary 3. sebarang garis dan sebarang garis berarah merupakan himpunan tak hingga

bukti. sebarang garis atau garis berarah memuat segmen sebagai himpunan bagiannya

Terbukti bahwa goemetri insidensi berhingga seperti M4 tidak dapat ‘diurutkan’. Hal ini merupakan pernyataan ketidakmungkinan matematis. Tidak berarti bahwa tidak sukses dalam menentukan definisi ke-antaraan untuk titik dalam M4 yang memnuhi B1-B5, tetapi agaknya ketidakmungkinan logis yang seharusnya memang ada.

12. Himpunan konveks

Himpunan konveks membentuk salah satu tipe bangun yang paling menarik  dan dikenal. Ide himpunan konveks adalah konsep penyatuan yang penting dalam geometri klasik; banyak aplikasinya pada bidang matematika lainnya seperti teori permainan dan teori program linier dan dihubungkan dengan maksud fungsi konveks dan busur konveks dalam kalkulus.

Definisi. Himpunan titik S dikatakan konveks, jika x, y Ì S, dan x¹y selalu  secara tak langsung menyatakan bahwa  Ì S.

Perhatikan bahwa sebarang garis dikatakan konveks karena  Ì ab. Terbukti bahwa sebarang bidang adalah konveks. Himpunan kosong Æ, dan himpunan yang terdiri atas titik tunggal memenuhi definisi tersebut (bab 8, sub bab 10). Jadi trivial bahwa himpunan semua titik adalah konveks. Himpunan konveks linier dasar atau satu dimensi adalah garis berarah dan segmen.

Teorema 9, sebarang garis berarah adalah konveks

Bukti ; Pertimbangkan p/a. misalkan x¹y dan x,yÌp/a. kita tunjukkan bahwa

 Ì p/a. misalkan z Ì  . Maka ( xyz), ( ypa) sehingga ( apx), ( apy).

Pembuktian kita bergantung pada aplikasi ganda B4. pertama, kita gunakan  B4 untuk p, a, x, y. kita punya p kolinier dengan a, x, y dan p ¹a, x, y. Jadi ( apx)  secara tak langsung menyatakan ( apy) atau ( xpy) tetapi tidak keduanya. Karenanya ( xpy) salah. Sekarang kita gunakan B4 untuk p, a, x, z. kita dapatkan p kolinier dengan a,  x, z dan p¹a, x, z (mengapa p¹z?) jadi (apx) secara tak langsung menyatakan (apz)  tau (xpz) tetapi tidak keduanya. Anggaplah (xpz). Maka dengan menggunakan  corollary 1 dari teorema 8, p Ì  Ì  .

Hal ini secara tak langsung menyatakan (xpy) salah. Jadi (xpz) salah dan (apz) harus

berlaku. Karenanya zÌp/a dan kita simpulkan  Ì p/a.

teorema 10. sebarang segmen adalah konveks

Bukti. pertimbangkan  . Pertama kita tunjukkan bahwa  merupakan irisan garis berarah ab,ba dan gunakan teorema 9. maka (teorema 7, corollary 4)

(1) =  Èb Èb / a =  È a Èa / b

karena  =  maka  Ì ,  . Selanjutnya sebarang titik yang dimiliki bersama  oleh  dan  adalah dalam  , akrena suku b, b/a a, a/b dalam (1) adalah saling asing menurut teorema 4. Jadi  merupakan irisan dari  dan

Sekarang dimisalkan x, y Ì  , x¹y. maka x,y Ì  sehingga  Ì karena  konveks. Serupa pula, Ì  . Jadi  Ì  merupakan irisan  dan yang membuktikan  konveks.

12. keunikan garis yang beralawanan arah

Kita telah menghindari pengarahan pada lawan dari garis berarah, karena kita belum membuktikan bahwa garis berarah memiliki lawannya yang unik. Kita menangguhkan pertimbangan pertanyaan bukan karena tidak biasanya sulit, tetapi karean bergantung pada titik tak kentara; perlu dibuktikan bahwa garis berarah memiliki titik unjung yang unik. Anggaplah garis berarah R memiliki titik ujung yang  berbeda p, p’. maka R dapat diekspresikan dengan R=  = jadi p/a dan p’/a keduanya R ynag berlawanan, agak ragu menyatakan bahwa p/a=p’a. akibatnya, kita harus membuktikan bahwa situasi ini tidak akan terjadi. Karena hampir tidak mungkin membayangkan bahwa suatu garis berarah memiliki dua titik ujung yang berbeda, tampaknya mustahil membuktikan bahwa garis berarah hanya memiliki satu titik ujung.

Tetapi pertimbangkan situasi tersebut sejenak. Kita tidak meragukan bahwa garis berarah, seperti yang kita pahami dalam geometri elementer, memiliki titik ujung yang unik. Agak berlawanan-kita menyatakan bahwa sifat garis berarah yang mendasar dan menunjukkan keyakinan yang baik dengan membuktikan bahwa postulat secara tak langsung menyatakan sifat ini. Isunya adalah apakah kita telah memilih postulat yang sesuai-jika tidak kita harus mengubah postulat tersebut. Jadi kita nyatakan dan buktikan

Teorema 11. sebarang garis memiliki titik ujung yang unik

Bukti. kita gunakan prinsip-prinsip di bawah ini

i.  É  adalakan a¹b

ii. Sebarang garis berarah termuat dalam garis yang unik prinsip (i) terbukti langsung dari prinsip dekomposisi garis berarah (teorema 7,

corollary 4). Untuk membuktikan prinsip (ii), perhatikan bahwa  Ì  (teorema 5,

corollary 5). Terbukti bahwa ab hanya merupakan satu-satunya garis yang dapat memuat  karena  merupakan himpunan tak hingga (teorema 8, corollary 3). Sekarang dimisalkan bahwa garis berarah R memiliki titik ujung p, p’. kita  tunjukkan  p = p’. anggaplah p ¹ p’. misalkan a Ì R. maka (teorema 5, corollary 2).

(1) R=  =

Kita dapatkan (teorema 5 corollary 5)

(2)  Ì pa,  Ì p'a

(1) dan (2) secara tak langsung menyatakan pa=p’a dengan prinsip (ii). Dengan menggunakan prinsip dekomposisi garis (teorema 7, corollary 3), diperoleh

(3) p Ì pa =  = p'a È p'Èp' / a

anggaplah pÌ  , maka (1) secara tak langsung menyatakan pÌ  , yang

berlawanan dengan teorema 3(ii) , karenanya (3) secara tak langsung menyatakan

p Ì p’/a. maka (pp’a), prinsip (i) dan (1) secara tak langsung menyatakan

p'Ì  Ì  =

juga berlawanan dengan teorema 3 (ii). Jadi pengandaian kita salah dan teorema

berlaku benar. Sekarang tidak sulit membuktikan hasil utama berikut ini

Teorema 12. sebarang garis berarah memiliki garis berarah yang berlawanan unik

Bukti. pertimbangkan garis berarah  . Kita tahu p/a berlawanan dengan  (teorema 6, corollary 1). Anggaplah R berlawanan dengan  . Kita tunjukkan R=p/a. menurut definisi, R dan pa memiliki titik ujung yang sama. Menurut definisi 11, p hanya satu-satunya titik ujung dari pa . Jadi p merupakan titik ujung yang sama dari R dan  .; dan hanya satu-satunya. Misalkan bÌR. karena aÌ  , diperoleh (bpa) menurut definisi garis berarah berlawanan. Jadi bÌp/a sehingga R =p/a  (teorema 5, corollary 1) dan bukti telah lengkap. Perhatikan peran teorema 11 dalam pembuktian.

            Karena R dan  berlawanan, kita tahun menurut definisi bahwa ada titik ujung yang sama dari R dan  , yang berada antara setiap titik R dan setiap titik dari  . Tanpa teorema 11, kita tidak dapat menyatakan bahwa titik ujung yang sama demikian pastilah p. kita mungkin bisa mendapatkan titik ujung tersebut jika p’ adalah titik ujung yang sama yang dimaksud, (bp’a) dan menyimpulkan bahwa R adalah p’/a, bukan p/a.

13. perluasan konsep urutan

Sudah dipahami bahwa relasi precedence dapat diperluas dari relasi urutan dua suku menjadi relasi urutan yang melibatkan tiga atau lebih suku. Hal ini dilakukan saat kita mengurutkan tiga bilangan riil sehubungan dengan relasi ‘kurang dari’, misalnya -5 < 0< 7. Serupa pula, maksud urutan dapat diperluas dari relasi keantaraan tiga suku untuk relasi urutan yang melibatkan empat atau lebih suku. Kita definisikan relasi urutan empat suku sebagai berikut.

Definisi. (abcd) berarti (abc), (abd), (acd) dan (bcd). Kita baca (abcd) sebagai

‘titik a, b, c, d berada pada urutan abcd’.

Seperti mungkin yang diharapkan, sidat dasar ke-antaraan dapat diperluas menjadi urutan empat-suku.. Ke-antaraan yang paling penting untuk tujuan kita sekarang adalah versi dari B3.2 berikut ini; anggaplah a¹b dan bahwa x kolinier dengan dan berbeda dari a, b. maka (xab), (axb) atu (abx), ktia perluas versi ini menajdi empat ide dalam

Teorema 13. anggaplah (abc) dan bahwa x kolinier dengan dan juga berbeda dari a, b, c. maka (xabc), (axbc), (abxc) atau (abcx).

Bukti. dengan menggunakan teorema 4

(1) =a/cÈaÈ ÈcÈc/a

Dengan menggunakan teorema 8 (abc) secara tak langsung menyatakan

= ÈbÈ  . Dengan mensubstitusikan dalam (1), kita peroleh

(2)  = ÈbÈ  Èc Èc / a

karena xÌac dan x¹a, b, c, kita peroleh

x Ì a / c È È  Èc / a

Gambar 10.15

Anggaplah x Ì  ; maka (xac). (abc) secara tak langsung menyatakan b Ì          

 ( teorema 7, corollary 5). Karena a/c,  garis berarah berlawanan dengan  titik ujung a, a berada antara x dan b atau (xab). (xab) secara tak langsung  menyatakan (bax) sehingga x Ì  (teorema 7, corollary 5). (abc) secara tak langsung  menyatakan (cba), sehingga cÌb/a. Karena  , b/a merupakan garis berarah berlawanan dengan titik ujung b, b derada antara x dan c atau (xbc). Jadi kita peroleh  (xab), (xbc), dan (abc), yang merupakan definisi (xabc). Jadi xÌa/c secara tak langsung menyatakan (xabc).

Kasus xÌc/a adalah simetris, karena hipotesis adalah simetris dalam a dan c,dan dalam kasus dimana kita peroleh (xabc) yang secara tak langsung menyatakan (abcx). Anggaplah xÌ  maka (axb), dan (bxa). Karena x Ì  (teorema 7, corollary 5). Jadi, xÌa/c secara  tidak langsung menyatakan (xabc)(teorema 7, corollary 5) . jadi xÌ , cÌb/a secara  tak langsung menyatakan (xbc), seperti diatas. Selanjutnya (axb) secara tak langsung menyatakan aÌx/b dan (xbc) secara tak langsung menyatakan cÌ  . Sekali lagi,  seperti diatas (axc). Kita peroleh (axb), (axc), (abc) dan (xbc) yang merupakan  definisi dari (axbc).  Kasus x Ì  dimetris dan menghasilkan (abxc). Teorema 13 sangat berguna dan menghasilkan hasil yang penting dengan  urutan tiga suku seperti corollary berikut ini

Bukti. Tunjukkan bahwa d kolinier dengan dan berbeda dari a, b, c. maka teorema secara tak langsung menyatakan  (dabc), (adbc), (abdc) atau (abcd). Tiga Relasi pertama kontradiksi (bcd) dan begitu pula empat relasi akan  berlaku pula. Dengan menggunakan corollary 1, definisi (abcd) kita peroleh

Corollary 2. jika (abc) dan (bcd) maka (abd) dan (acd).  Dengan metode serupa, kita buktikan corollary berikut ini

Corollary 3. jika (abc) dan (acd) maka (abcd)

Corollary 4. jika (abc) dan (acd) maka (abd) dan (bcd)

Sifat ke-antaraan lainnya akan memperumum suku ke empat dengan cara  yang alami. Sebagai contoh, diberikan 4 titik a, b, c, d, kita dapat menyatakan dua  puluh empat relasi urutan yang berbeda (abcd) dan (abdc), (acbd),…, berhubungan  dengan 24 permutasi a, b, c, d. anggaplah bahwa a, b, c, d berbeda dan kolinier. Maka, kita dapat menyatakan bahwa dua dan hanya dua dari 24 relasi yang akan berlaku, sebagai contoh, (abcd) dan (dcba) atau (badc) dan (cdab). Relasi ini akan  memperumum B3.2 dan teorema 1. Akhirnya, kita catat bahwa teori urutan dapat diperluas untuk n suku untuk  >3.

14. Model Teori

Dalam mengembangkan teori dalam bab ini, kita telah memperkenalkan istilah dasar baru antara sebagai tambahan pada istilah titik, garis, bidang, pada teori  insidensi. Jadi, suatu model teori ini akan menjadi geometri insidensi yang diperbesar  denga nmenggunakan spesifikasi relasi ke-antaraan pada titik yang memenuhi postulat B1-B5.

Latihan

1. Interpretasikan ‘titik’ untuk mengartikan bilangan riil dan ‘garis’ untuk mengartikan himpunan semua bilangan riil. Interpretasikan relasi ke-antaraan (abc)  untuk mengartikan a<b<c atau c<b<a, dengan < menunjukkan ‘kurangdari’.

Tunjukkan bahwa B1-B4 perlu diuji. Apakah B5 perlu diuji? apa interpretasi dari ‘segmen’? atau garis berarah?

Referensi :

Prenowitz, W. Jordan, M. 1965. Basic Concepts of Geometry. Blaisdell Publishing

Company : Waltham, Massachusetts. Toronto. London